Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} (2 x^{3} - 4 x^{- 2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{3} 2 x^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} 2 x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) - 4 \int_{1}^{3} x^{- 2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{3})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $1$ .

$2 ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{3})$

Этап 8.2

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $3$ и в $1$ .

$2 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$2 (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{81 - 1}{4} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.4

Вычтем $1$ из $81$ .

$2 (\frac{80}{4}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.5

Сократим общий множитель $80$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$2 \frac{4 \cdot 20}{4} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$2 \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{20}{1}) - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.5.2.4

Разделим $20$ на $1$ .

$2 \cdot 20 - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.6

Умножим $2$ на $20$ .

$40 - 4 (- 3^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + 1)$

Этап 8.3.9

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$40 - 4 (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3})$

Этап 8.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$40 - 4 \frac{- 1 + 3}{3}$

Этап 8.3.11

Добавим $- 1$ и $3$ .

$40 - 4 (\frac{2}{3})$

Этап 8.3.12

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{3}$ .

$40 + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

Этап 8.3.13

Умножим $- 4$ на $2$ .

$40 + \frac{- 8}{3}$

Этап 8.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$40 - \frac{8}{3}$

Этап 8.3.15

Чтобы записать $40$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$40 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 8.3.16

Объединим $40$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 8.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{40 \cdot 3 - 8}{3}$

Этап 8.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.18.1

Умножим $40$ на $3$ .

$\frac{120 - 8}{3}$

Этап 8.3.18.2

Вычтем $8$ из $120$ .

$\frac{112}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{112}{3}$

Десятичная форма:

$37.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$37 \frac{1}{3}$

Этап 10