Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin^{4} (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin^{4} (x) d x$

Этап 3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Этап 3.2

Перепишем ${\sin (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (x)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Этап 7

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ в виде произведения.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Этап 7.2

Развернем ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 7.2.7

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.8

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.9

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.10

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.11

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.12

Перенесем круглые скобки.

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.13

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.14

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.15

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.16

Перенесем $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.17

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.18

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Этап 7.2.19

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

Этап 7.2.20

Перенесем круглые скобки.

Этап 7.2.21

Перенесем $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.22

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.23

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.24

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.25

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.26

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.27

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.28

Объединим $- \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.29

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.30

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.31

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.32

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.33

Объединим $- \frac{\cos (u_{1})}{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.34

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.35

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.36

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.37

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.38

Умножим $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.39

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2.40

Объединим $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ и $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 7.2.41

Возведем $\cos (u_{1})$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 7.2.42

Возведем $\cos (u_{1})$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 7.2.43

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Этап 7.2.44

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 7.2.45

Вычтем $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ из $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 7.2.46

Объединим $- 2$ и $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 7.2.47

Изменим порядок $\frac{- 2 \cos (u_{1})}{4}$ и $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 7.2.48

Изменим порядок $\frac{1}{4}$ и $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Этап 7.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 (2)} d u_{1}$

Этап 7.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Этап 7.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 7.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 10

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 12.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 13

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 15

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 15.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 15.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 15.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 15.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 16

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 17

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 18

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 19

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 20

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 21

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 22

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}))$

Этап 23

Интеграл $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C))$

Этап 24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Упростим.

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Этап 24.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Чтобы записать $\frac{u_{1}}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Этап 24.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.2.1

Умножим $\frac{u_{1}}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Этап 24.2.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Этап 24.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Этап 24.2.4

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Этап 24.2.5

Добавим $u_{1}$ и $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Этап 25

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 25.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 25.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.1

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 26.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 26.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 26.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{3 (x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 26.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 26.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 26.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.3.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.3.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3 x}{4}$ .

$\frac{3 x}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 26.3.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 26.3.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (4 x)}{16}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 16} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 26.3.2.2

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 26.3.3

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.3.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 26.3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (4 x)}{32} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Этап 27

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin (4 x) - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Этап 28

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin (4 x) - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$