Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{\sqrt{5 x - 6} - 3}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - x - 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

Этап 1.1.2.3

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9 - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{9 - 3 - 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

Этап 1.1.2.5.3

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - 3}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6} - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 1.1.3.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} 5 x - 6} - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 1.1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 1.1.3.1.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 1.1.3.1.5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 1.1.3.1.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{15 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{0}{\sqrt{15 - 6} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Вычтем $6$ из $15$ .

$\frac{0}{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{\sqrt{5 x - 6} - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6} - 3]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $\sqrt{5 x - 6} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x - 6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x - 6}$ в виде ${(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [{(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 5 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x - 6] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 6] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 6] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.3

По правилу суммы производная $5 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.6

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.12

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.13

Добавим $5$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{1}{2} {(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{{(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.15

Объединим $\frac{{(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $5$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{{(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.16

Перенесем $5$ влево от ${(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{5 \cdot {(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8.17

Перенесем ${(5 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{5}{2 {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{5}{2 {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $\frac{5}{2 {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{5}{2 {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) \frac{2 {(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{5}$

Этап 1.5

Перепишем ${(5 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{5 x - 6}$ .

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) \frac{2 \sqrt{5 x - 6}}{5}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$lim_{x \to 3} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x - 6}}{5}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$(lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x - 6}}{5}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x - 6}}{5}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x - 6}}{5}$

Этап 2.5

Вынесем член $\frac{2}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} lim_{x \to 3} \sqrt{5 x - 6}$

Этап 2.6

Внесем предел под знак радикала.

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x - 6}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 6}$

Этап 2.8

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}$

Этап 2.9

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$(2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$(2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$(2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$(6 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(6 - 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$5 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$5 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

Этап 4.4

Умножим $5$ на $3$ .

$2 \sqrt{15 - 1 \cdot 6}$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$2 \sqrt{15 - 6}$

Этап 4.6

Вычтем $6$ из $15$ .

$2 \sqrt{9}$

Этап 4.7

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$2 \sqrt{3^{2}}$

Этап 4.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 \cdot 3$

Этап 4.9

Умножим $2$ на $3$ .

$6$