Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} + x$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 x^{2} + x d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{2} d x + \int x d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{2} d x + \int x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 7.2

Упростим.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 x^{2} + x$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$