Математический анализ Примеры

$- y + 2 x y = - 3 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- y + 2 x y) = \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- y + 2 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- y' + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- y' + 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$- y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- y' + 2 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$- y' + 2 (x y' + y)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y' + 2 (x y') + 2 y$

Этап 2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- y' + 2 x y' + 2 y$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$2 x y' + 2 y - y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x y' + 2 y - y' = - 3$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' - y' = - 3 - 2 y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 x y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 x y'$ .

$y' (2 x) - y' = - 3 - 2 y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (2 x) + y' \cdot - 1 = - 3 - 2 y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ на $2 x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (2 x - 1) = - 3 - 2 y$ на $2 x - 1$ .

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 1}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3}{2 x - 1} - \frac{2 y}{2 x - 1}$

Этап 5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 - 2 y}{2 x - 1}$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{- 1 (3) - 2 y}{2 x - 1}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3) - (2 y)}{2 x - 1}$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 + 2 y)}{2 x - 1}$

Этап 5.3.3.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$