Математический анализ Примеры

$f (x) = {\begin{cases} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a & x < 2 \\ x^{3} + a x^{2} + 5 & x \geq 2 \end{cases}$

Этап 1

Найдем предел $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ , когда $x$ стремится к $2$ слева.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим двусторонний предел на левосторонний.

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Этап 1.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to 2^{-}} e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Этап 1.4

Внесем предел под знак экспоненты.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Этап 1.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Этап 1.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Этап 1.7

Вынесем член $a$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Этап 1.8

Найдем предел $3 a$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Этап 1.9

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Этап 1.9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Этап 1.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 e^{2 - 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Этап 1.10.1.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$4 e^{0} + a \cdot 2 - 3 a$

Этап 1.10.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 \cdot 1 + a \cdot 2 - 3 a$

Этап 1.10.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + a \cdot 2 - 3 a$

Этап 1.10.1.5

Перенесем $2$ влево от $a$ .

$4 + 2 a - 3 a$

Этап 1.10.2

Вычтем $3 a$ из $2 a$ .

$4 - a$

Этап 2

Найдем значение $x^{3} + a x^{2} + 5$ в точке $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

${(2)}^{3} + a {(2)}^{2} + 5$

Этап 2.2

Найдем значение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 + a {(2)}^{2} + 5$

Этап 2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 + a \cdot 4 + 5$

Этап 2.2.1.3

Перенесем $4$ влево от $a$ .

$8 + 4 a + 5$

Этап 2.2.2

Добавим $8$ и $5$ .

$4 a + 13$

Этап 3

Поскольку предел $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ , когда $x$ стремится к $2$ слева, не равен значению функции в точке $x = 2$ , функция не является непрерывной в точке $x = 2$ .

Не является непрерывной

Этап 4