Математический анализ Примеры

$π \int_{0}^{6} {(- x + 6)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = - x + 6$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = - x + 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $- x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [- x + 6]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $- x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 1 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$- 1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x + 6$ .

$u_{lower} = - 0 + 6$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 6$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $6$ .

$u_{lower} = 6$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x + 6$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 6 + 6$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$u_{upper} = - 6 + 6$

Этап 1.5.2

Добавим $- 6$ и $6$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$π \int_{6}^{0} - u^{2} d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$π (- \int_{6}^{0} u^{2} d u)$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$π (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{6}^{0}))$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$π (- (\frac{u^{3}}{3}]_{6}^{0}))$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $0$ и в $6$ .

$π (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{6^{3}}{3}))$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (- (\frac{0}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$π (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

Этап 5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Этап 5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$π (- (\frac{0}{1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Этап 5.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (- (0 - \frac{6^{3}}{3}))$

Этап 5.2.3

Возведем $6$ в степень $3$ .

$π (- (0 - \frac{216}{3}))$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3}))$

Этап 5.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 (1)}))$

Этап 5.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1}))$

Этап 5.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$π (- (0 - \frac{72}{1}))$

Этап 5.2.4.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$π (- (0 - 1 \cdot 72))$

Этап 5.2.5

Умножим $- 1$ на $72$ .

$π (- (0 - 72))$

Этап 5.2.6

Вычтем $72$ из $0$ .

$π (- - 72)$

Этап 5.2.7

Умножим $- 1$ на $- 72$ .

$π \cdot 72$

Этап 5.2.8

Перенесем $72$ влево от $π$ .

$72 π$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$72 π$

Десятичная форма:

$226.19467105 \dots$

Этап 7