Математический анализ Примеры

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Этап 1

Поскольку $44$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $44$ из-под знака интеграла.

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Этап 2

Пусть $x = 4 \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $4 \sec^{2} (t)$ положительно.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим правило умножения к $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $16$ из $16 \tan^{2} (t) + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $16$ из $16 \tan^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.2.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.3

Применим формулу Пифагора.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.4

Перепишем $16 \sec^{2} (t)$ в виде ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $4 \sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $4 \sec (t)$ из ${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $4 \sec (t)$ из $4 \sec^{2} (t)$ .

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ и $\sec (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \tan (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Этап 3.2.3.2

Применим правило умножения к $4 (\tan (t))$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Этап 3.2.3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{16}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{16}$ из-под знака интеграла.

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{16}$ и $44$ .

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $44$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $44$ .

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\sec (x)$ в виде $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Этап 6.2

Применим обратное тождество.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 6.3.2

Объединим.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 6.3.3

Умножим $\csc (t)$ на $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Этап 6.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 6.3.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 6.3.5

Объединим $\cot (t)$ и $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 6.3.6

Сократим выражение $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

Умножим на $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Этап 6.3.6.2

Вынесем множитель $\cot (t)$ из ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Этап 6.3.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Этап 6.3.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Этап 6.3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Этап 7

Поскольку производная $- \csc (t)$ равна $\csc (t) \cot (t)$ , интеграл $\csc (t) \cot (t)$ равен $- \csc (t)$ .

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

Этап 8.2

Объединим $\frac{11}{4}$ и $\csc (t)$ .

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \frac{x}{4})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (\frac{x}{4})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \frac{x}{4})$ . Следовательно, $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ равно $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ .

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

Этап 10.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Этап 10.1.3

Применим правило умножения к $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Этап 10.1.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Этап 10.1.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Этап 10.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Этап 10.1.7

Перепишем $\frac{16 + x^{2}}{16}$ в виде ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.7.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $16 + x^{2}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Этап 10.1.7.2

Вынесем полную степень $4^{2}$ из $16$ .

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Этап 10.1.7.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

Этап 10.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Этап 10.1.9

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sqrt{16 + x^{2}}$ .

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

Этап 10.1.10

Объединим.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Этап 10.1.11

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.11.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Этап 10.1.11.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Этап 10.2

Объединим $11$ и $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ .

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Этап 10.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Этап 10.4

Объединим.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Этап 10.5

Умножим $11$ на $1$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Этап 10.6

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$