Математический анализ Примеры

$\int (- 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x)) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int - 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 3 \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- 3 \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Этап 4

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Этап 6

Пусть $u_{2} = \csc (2 x)$ . Тогда $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = \csc (2 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Этап 6.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.2.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Этап 6.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Этап 6.1.3.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Этап 9.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$3 \cot (x) - 4 \frac{u_{2}}{2} + C$

Этап 9.2.3

Объединим $- 4$ и $\frac{u_{2}}{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{- 4 u_{2}}{2} + C$

Этап 9.2.4

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 u_{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2} + C$

Этап 9.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 (1)} + C$

Этап 9.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 9.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \cot (x) + \frac{- 2 u_{2}}{1} + C$

Этап 9.2.4.2.4

Разделим $- 2 u_{2}$ на $1$ .

$3 \cot (x) - 2 u_{2} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\csc (2 x)$ .

$3 \cot (x) - 2 \csc (2 x) + C$