Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (2 x^{4} + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{4} + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (2 x^{4} + 3) x^{- 2} d x$

Этап 4

Умножим $(2 x^{4} + 3) x^{- 2}$ .

$\int 2 x^{4} x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

Этап 5

Умножим $x^{4}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$\int 2 (x^{- 2} x^{4}) + 3 x^{- 2} d x$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 x^{- 2 + 4} + 3 x^{- 2} d x$

Этап 5.3

Добавим $- 2$ и $4$ .

$\int 2 x^{2} + 3 x^{- 2} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{2} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{2} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

Этап 9

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$2 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 (- x^{- 1}) + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + 3 (- x^{- 1}) + C$

Этап 11.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$