Математический анализ Примеры

$y = 10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$10 (- \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 (\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Этап 1.3.2

Поскольку $\frac{2 π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ по $x$ равна $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$ .

$- 10 \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) (\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}])$

Этап 1.3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Объединим $\frac{2 π}{3}$ и $- 10$ .

$\frac{2 π \cdot - 10}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Этап 1.3.3.2

Умножим $- 10$ на $2$ .

$\frac{- 20 π}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Этап 1.3.3.3

Объединим $\frac{- 20 π}{3}$ и $\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ .

$\frac{- 20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Этап 1.3.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Этап 1.3.4

По правилу суммы производная $x + \frac{1}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Этап 1.3.6

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + 0)$

Этап 1.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \cdot 1$

Этап 1.3.7.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} x + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Этап 1.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $\frac{2 π}{3}$ и $x$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Этап 1.4.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)})}{3}$

Этап 1.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2})}{3}$

Этап 1.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2})}{3}$

Этап 1.4.2.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3 \cdot 2})}{3}$

Этап 1.4.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{20 π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$ по $x$ равна $- \frac{20 π}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ и $\frac{20 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) (20 π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Этап 2.3.2

Перенесем $20$ влево от $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{2 π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 π x}{3}$ по $x$ равна $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Этап 2.3.6

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{6}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + 0)$

Этап 2.3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Добавим $\frac{2 π}{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 2.3.8.2

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 π (20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Этап 2.3.8.3

Умножим $20$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Этап 2.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Этап 2.5

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{40 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Этап 2.8

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ на $20 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ на $20 π$ .

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Этап 5.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Этап 5.1.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Этап 5.1.2.2.2

Разделим $\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ на $1$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{20 π}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Вынесем множитель $20$ из $0$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 π}$

Этап 5.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $20$ из $20 π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 (π)}$

Этап 5.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 \cdot 0}{20 π}$

Этап 5.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Этап 5.1.3.2

Разделим $0$ на $π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Этап 5.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = \arcsin (0)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$

Этап 5.4

Вычтем $\frac{π}{6}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 π x}{3} = - \frac{π}{6}$

Этап 5.5

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Этап 5.6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Упростим $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Этап 5.6.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Этап 5.6.1.1.2

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.2.1

Вынесем множитель $2 π$ из $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Этап 5.6.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Этап 5.6.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Этап 5.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Упростим $\frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{6}$ в числитель.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{6}$

Этап 5.6.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 (2)}$

Этап 5.6.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 \cdot 2}$

Этап 5.6.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Этап 5.6.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

Этап 5.6.2.1.2.2

Вынесем множитель $π$ из $- π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Этап 5.6.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Этап 5.6.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Этап 5.6.2.1.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{- 1}{2}$ .

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Этап 5.6.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.6.2.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 5.7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π - 0$

Этап 5.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π$

Этап 5.8.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Вычтем $\frac{π}{6}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 π x}{3} = π - \frac{π}{6}$

Этап 5.8.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.8.2.3

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 5.8.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.5.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 5.8.2.5.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{5 π}{6}$

Этап 5.8.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 5.8.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1

Упростим $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 5.8.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 5.8.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $2 π$ из $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 5.8.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 5.8.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Этап 5.8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1

Упростим $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 (2)}$

Этап 5.8.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Этап 5.8.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{5 π}{2}$

Этап 5.8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Этап 5.8.4.2.1.2.2

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Этап 5.8.4.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Этап 5.8.4.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}$

Этап 5.8.4.2.1.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

Этап 5.8.4.2.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 5.9

Решение уравнения $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$ .

$x = - \frac{1}{4}, \frac{5}{4}$

Этап 6

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (- \frac{1}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- 2 π \frac{1}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7.1.3

Объединим $\frac{- 2}{4}$ и $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим выражение $\frac{- 2 π}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7.2.1.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- π + π}{6})}{9}$

Этап 7.3.3

Добавим $- π$ и $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{0}{6})}{9}$

Этап 7.3.4

Разделим $0$ на $6$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (0)}{9}$

Этап 7.3.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot 1}{9}$

Этап 7.3.6

Умножим $40$ на $1$ .

$- \frac{40 π^{2}}{9}$

Этап 8

$x = - \frac{1}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1}{4}$ — локальный максимум

Этап 9

Найдем значение y, если $x = - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((- \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}))$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{4})$

Этап 9.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Этап 9.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{2 (2)})$

Этап 9.2.3.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{2 \cdot 2})$

Этап 9.2.3.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{0}{2})$

Этап 9.2.4

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{0}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 0}{3 \cdot 2})$

Этап 9.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Умножим $π$ на $0$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{3 \cdot 2})$

Этап 9.2.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{6})$

Этап 9.2.5.3

Разделим $0$ на $6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (0)$

Этап 9.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cdot 1$

Этап 9.2.7

Умножим $10$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

Этап 9.2.8

Окончательный ответ: $10$ .

$y = 10$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = \frac{5}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{5}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $\frac{5}{4}$ и $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 11.1.2

Объединим $\frac{5 \cdot 2}{4}$ и $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 11.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $5$ на $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{10 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 11.2.2

Сократим выражение $\frac{10 π}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10 π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 11.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 11.2.2.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 11.2.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 11.3.1.2

Умножим $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.2.1

Умножим $\frac{5 π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 11.3.1.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Этап 11.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π + π}{6})}{9}$

Этап 11.3.3

Добавим $5 π$ и $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Этап 11.3.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Этап 11.3.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (π)}{9}$

Этап 11.3.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \frac{40 π^{2} (- \cos (0))}{9}$

Этап 11.3.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{40 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Этап 11.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Этап 11.3.8

Умножим $- 1$ на $40$ .

$- \frac{- 40 π^{2}}{9}$

Этап 11.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{40 π^{2}}{9}$

Этап 11.5

Умножим $- - \frac{40 π^{2}}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{40 π^{2}}{9}$

Этап 11.5.2

Умножим $\frac{40 π^{2}}{9}$ на $1$ .

$\frac{40 π^{2}}{9}$

Этап 12

$x = \frac{5}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5}{4}$ — локальный минимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5}{4}$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((\frac{5}{4}) + \frac{1}{4}))$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{5 + 1}{4})$

Этап 13.2.2

Добавим $5$ и $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Этап 13.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Этап 13.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{2 (2)})$

Этап 13.2.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{2 \cdot 2})$

Этап 13.2.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{6}{2})$

Этап 13.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (2)}{2})$

Этап 13.2.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2}{2})$

Этап 13.2.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π \cdot \frac{2}{2})$

Этап 13.2.5

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Этап 13.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Этап 13.2.6.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π)$

Этап 13.2.7

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- \cos (0))$

Этап 13.2.8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- 1 \cdot 1)$

Этап 13.2.9

Умножим $10 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot - 1$

Этап 13.2.9.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$f (\frac{5}{4}) = - 10$

Этап 13.2.10

Окончательный ответ: $- 10$ .

$y = - 10$

Этап 14

Это локальные экстремумы $f (x) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot (x + \frac{1}{4}))$ .

$(- \frac{1}{4}, 10)$ — локальный максимум

$(\frac{5}{4}, - 10)$ — локальный минимум

Этап 15