Математический анализ Примеры

$e^{x y} = e^{4 x} - e^{5 y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (e^{x y}) = \frac{d}{d y} (e^{4 x} - e^{5 y})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$e^{x y} (x + y x')$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $e^{4 x} - e^{5 y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 x$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$e^{4 x} (4 x') + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- e^{5 y}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$ .

$e^{4 x} (4 x') - \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [5 y])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [5 y])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \frac{d}{d y} [5 y])$

Этап 3.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 y$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \cdot 1))$

Этап 3.3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \cdot 5)$

Этап 3.3.6

Перенесем $5$ влево от $e^{5 y}$ .

$e^{4 x} (4 x') - (5 \cdot e^{5 y})$

Этап 3.3.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - 5 e^{5 y}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 x' e^{4 x} - 5 e^{5 y}$

Этап 5.3

Вычтем $4 x' e^{4 x}$ из обеих частей уравнения.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y}$

Этап 5.4

Вычтем $x e^{x y}$ из обеих частей уравнения.

$y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $x'$ из $y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $x'$ из $y x' e^{x y}$ .

$x' (y e^{x y}) - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $x'$ из $- 4 x' e^{4 x}$ .

$x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x})$ .

$x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Этап 5.6

Разделим каждый член $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ на $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ на $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 5 e^{5 y} - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Этап 5.6.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 e^{5 y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Этап 5.6.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x e^{x y}$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Этап 5.6.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Этап 5.6.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.5.1

Перепишем $- (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ в виде $- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ .

$x' = \frac{- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Этап 5.6.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$