Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{5} + x^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{5} + x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 x^{4} + 4 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} + 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 12 x^{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} + x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{4} + 4 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 4 x^{3}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $5 x^{4} + 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $5 x^{4}$ .

$x^{3} (5 x) + 4 x^{3} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 4 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 4$ .

$x^{3} (5 x + 4) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$5 x + 4 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $5 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $5 x + 4$ к $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $5 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 4$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $5 x = - 4$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 4$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{5}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{3} (5 x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{4}{5}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - \frac{4}{5}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$20 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.2

Умножим $20$ на $0$ .

$0 + 12 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 12 \cdot 0$

Этап 9.1.4

Умножим $12$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{4}{5}) \cup (- \frac{4}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 3$ , из интервала $(- \infty, - \frac{4}{5})$ в первую производную $5 x^{4} + 4 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 5 {(- 3)}^{4} + 4 {(- 3)}^{3}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f' (- 3) = 5 \cdot 81 + 4 {(- 3)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $5$ на $81$ .

$f' (- 3) = 405 + 4 {(- 3)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f' (- 3) = 405 + 4 \cdot - 27$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $4$ на $- 27$ .

$f' (- 3) = 405 - 108$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $108$ из $405$ .

$f' (- 3) = 297$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $297$ .

$297$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 0.4$ , из интервала $(- \frac{4}{5}, 0)$ в первую производную $5 x^{4} + 4 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.4$ .

$f' (- 0.4) = 5 {(- 0.4)}^{4} + 4 {(- 0.4)}^{3}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 0.4$ в степень $4$ .

$f' (- 0.4) = 5 \cdot 0.0256 + 4 {(- 0.4)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $5$ на $0.0256$ .

$f' (- 0.4) = 0.128 + 4 {(- 0.4)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 0.4$ в степень $3$ .

$f' (- 0.4) = 0.128 + 4 \cdot - 0.064$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $4$ на $- 0.064$ .

$f' (- 0.4) = 0.128 - 0.256$

Этап 10.3.2.2

Вычтем $0.256$ из $0.128$ .

$f' (- 0.4) = - 0.128$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 0.128$ .

$- 0.128$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $5 x^{4} + 4 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 5 {(2)}^{4} + 4 {(2)}^{3}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (2) = 5 \cdot 16 + 4 {(2)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $5$ на $16$ .

$f' (2) = 80 + 4 {(2)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 80 + 4 \cdot 8$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $4$ на $8$ .

$f' (2) = 80 + 32$

Этап 10.4.2.2

Добавим $80$ и $32$ .

$f' (2) = 112$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $112$ .

$112$

Этап 10.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - \frac{4}{5}$ , $x = - \frac{4}{5}$ — локальный максимум.

$x = - \frac{4}{5}$ — локальный максимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 10.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{5} + x^{4}$ .

$x = - \frac{4}{5}$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

$x = - \frac{4}{5}$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11