Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{x^{2} - π^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to π} 2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 2 x^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $6 π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $4 π^{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{2 π^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{2 π^{2} - 1 \cdot 6 π π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 π π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Умножим $- 6 π π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.2.1

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 (π^{1} π) + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.2.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 (π^{1} π^{1}) + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 π^{2} - 6 π^{1 + 1} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.7.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 π^{2} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2

Вычтем $6 π^{2}$ из $2 π^{2}$ .

$\frac{- 4 π^{2} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.2.7.3

Добавим $- 4 π^{2}$ и $4 π^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $π^{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Вычтем $π^{2}$ из $π^{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to π} \frac{2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x π]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 6 π$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x π$ по $x$ равна $- 6 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $4 π^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $4 π^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 1.3.6

Добавим $4 x - 6 π$ и $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x^{2} - π^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- π^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- π^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $4 x - 6 π$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) - 6 π}{2 x}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 π$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) + 2 (- 3 π)}{2 x}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (- 3 π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 x}$

Этап 1.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 (x)}$

Этап 1.4.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 x}$

Этап 1.4.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to π} \frac{2 x - 3 π}{x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 2 x - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 2 x - lim_{x \to π} 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Этап 2.4

Найдем предел $3 π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{2 lim_{x \to π} x - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{2 π - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{2 π - 3 π}{π}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $3 π$ из $2 π$ .

$\frac{- π}{π}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- π}{π}$

Этап 4.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$