Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sec^{2} (8 x)}{\tan (8 x) - 6} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Тогда $d u_{2} = 8 \sec^{2} (8 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{8} d u_{2} = \sec^{2} (8 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x) - 6]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $\tan (8 x) - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.3.1.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $8 x$ .

$\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.3.4

Умножим $8$ на $1$ .

$\sec^{2} (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.3.5

Перенесем $8$ влево от $\sec^{2} (8 x)$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $8 \sec^{2} (8 x)$ и $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Этап 2.2

Перенесем $8$ влево от $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{1}{8} \ln (| \tan (8 x) - 6 |) + C$