Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u$

Этап 2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (u)$ .

$\arcsin (u) + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\arcsin (\ln (x)) + C$