Математический анализ Примеры

$4 x^{2} y^{7} - 2 x = x^{5} + 4 y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (4 x^{2} y^{7} - 2 x) = \frac{d}{d y} (x^{5} + 4 y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} y^{7} - 2 x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 x^{2} y^{7}$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x^{2}$ и $g (y) = y^{7}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{7}] + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.2.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.2.6

Перенесем $7$ влево от $x^{2}$ .

$4 (7 \cdot x^{2} y^{6} + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.2.7

Перенесем $2$ влево от $y^{7}$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 x$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 x'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (7 x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $7$ на $4$ .

$28 (x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Этап 2.4.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$28 x^{2} y^{6} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{5} + 4 y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 y^{3}$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$5 x^{4} x' + 4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} x' + 4 (3 y^{2})$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$5 x^{4} x' + 12 y^{2}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' = 12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $5 x^{4} x'$ из обеих частей уравнения.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2}$

Этап 5.2

Вычтем $28 y^{6} x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x'$ из $8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x'$ из $8 y^{7} x x'$ .

$x' (8 y^{7} x) - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x'$ из $- 2 x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x'$ из $- 5 x^{4} x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $x'$ из $x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2$ .

$x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $x'$ из $x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4})$ .

$x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ на $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ на $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $4 y^{2}$ из $12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Вынесем множитель $4 y^{2}$ из $12 y^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.3.2.2

Вынесем множитель $4 y^{2}$ из $- 28 y^{6} x^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.3.2.3

Вынесем множитель $4 y^{2}$ из $4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$