Математический анализ Примеры

\int_{0}^{\frac{π}{4}} x {sec}^{2} (x) d x

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sec^{2} (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

u = x

$u = x$ и

d v = {sec}^{2} (x)

$d v = \sec^{2} (x)$ .

x tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} tan (x) d x

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) d x$

Этап 2

Интеграл

tan (x)

$\tan (x)$ по

x

$x$ имеет вид

ln (| sec (x) |)

$\ln (| \sec (x) |)$ .

x tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (ln (| sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем значение

x tan (x)

$x \tan (x)$ в

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ и в

0

$0$ .

(\frac{π}{4} tan (\frac{π}{4})) + 0 tan (0) - (ln (| sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Этап 3.1.2

Найдем значение

ln (| sec (x) |)

$\ln (| \sec (x) |)$ в

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ и в

0

$0$ .

(\frac{π}{4} tan (\frac{π}{4})) + 0 tan (0) - ((ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣)) - ln (| sec (0) |))

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Объединим

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ и

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ .

\frac{π tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 tan (0) - ((ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣)) - ln (| sec (0) |))

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Этап 3.1.3.2

Умножим

0

$0$ на

tan (0)

$\tan (0)$ .

\frac{π tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 - ((ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣)) - ln (| sec (0) |))

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Этап 3.1.3.3

Добавим

\frac{π tan (\frac{π}{4})}{4}

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4}$ и

0

$0$ .

\frac{π tan (\frac{π}{4})}{4} - ((ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣)) - ln (| sec (0) |))

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Этап 3.1.3.4

Чтобы записать

- (ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣) - ln (| sec (0) |))

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\frac{π tan (\frac{π}{4})}{4} - (ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣) - ln (| sec (0) |)) \cdot \frac{4}{4}

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.1.3.5

Объединим

- (ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣) - ln (| sec (0) |))

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ и

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\frac{π tan (\frac{π}{4})}{4} + \frac{- (ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣) - ln (| sec (0) |)) \cdot 4}{4}

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + \frac{- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Этап 3.1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{π tan (\frac{π}{4}) - (ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣) - ln (| sec (0) |)) \cdot 4}{4}

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Этап 3.1.3.7

Умножим

4

$4$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{π tan (\frac{π}{4}) - 4 (ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣) - ln (| sec (0) |))}{4}

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

\frac{π tan (\frac{π}{4}) - 4 (ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣) - ln (| sec (0) |))}{4}

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

\frac{π tan (\frac{π}{4}) - 4 (ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣) - ln (| sec (0) |))}{4}

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение

tan (\frac{π}{4})

$\tan (\frac{π}{4})$ :

1

$1$ .

\frac{π \cdot 1 - 4 (ln (∣ ∣ sec (\frac{π}{4}) ∣ ∣) - ln (| sec (0) |))}{4}

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Этап 3.2.2

Точное значение

sec (\frac{π}{4})

$\sec (\frac{π}{4})$ :

\frac{2}{\sqrt{2}}

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

\frac{π \cdot 1 - 4 (ln (∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} ∣ ∣) - ln (| sec (0) |))}{4}

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Этап 3.2.3

Точное значение

sec (0)

$\sec (0)$ :

1

$1$ .

\frac{π \cdot 1 - 4 (ln (∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} ∣ ∣) - ln (| 1 |))}{4}

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Этап 3.2.4

Умножим

π

$π$ на

1

$1$ .

\frac{π - 4 (ln (∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} ∣ ∣) - ln (| 1 |))}{4}

$\frac{π - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Этап 3.2.5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\frac{π - 4 ln (\frac{∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} ∣ ∣}{| 1 |})}{4}

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

\frac{π - 4 ln (\frac{∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} ∣ ∣}{| 1 |})}{4}

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим

\frac{2}{\sqrt{2}}

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ на

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

\frac{π - 4 ln (\frac{∣ ∣ \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} ∣ ∣}{| 1 |})}{4}

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим

\frac{2}{\sqrt{2}}

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ на

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

\frac{π - 4 ln (\frac{∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} ∣ ∣}{| 1 |})}{4}

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.2.2

Возведем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в степень

1

$1$ .

\frac{π - 4 ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠}{4}

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.2.3

Возведем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в степень

1

$1$ .

\frac{π - 4 ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠}{4}

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.2.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{π - 4 ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠}{4}

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.2.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{π - 4 ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎠}{4}

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.2.6

Перепишем

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.6.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в виде

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{π - 4 ln ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{{⎛ ⎝ 2^{\frac{1}{2}} ⎞ ⎠}^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠}{4}

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{π - 4 ln ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} ∣ ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠}{4}

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.2.6.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

\frac{π - 4 ln ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} ∣ ∣ ∣ ∣}{| 1 |} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠}{4}

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.2.6.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.3.2

Разделим

$\sqrt{2}$ на

$1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ приблизительно равно

$1.41421356$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})}{4}$

Этап 3.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})}{4}$

Этап 3.3.3

Разделим

$\sqrt{2}$ на

$1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Десятичная форма:

$0.43882457 \dots$