Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} + 4 x + 3}{x^{3} + x + 14}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 4}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{x}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 2.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 8.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 9

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1 + 0 + lim_{x \to \infty} \frac{14}{x^{3}}}$

Этап 10

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1 + 0 + 14 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 11

$\frac{3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Этап 12.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 + 0 + 3 \cdot 0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Этап 12.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Этап 12.1.4

Добавим $0 + 0$ и $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Этап 12.1.5

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 14 \cdot 0}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $14$ на $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Этап 12.2.2

Добавим $1 + 0$ и $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Этап 12.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 12.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$