Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} + x + 2$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Этап 1.5

Добавим $4 x^{3} + 1$ и $0$ .

$4 x^{3} + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $12 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} + 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $4 x^{3} + 1$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} + 1$ .

$4 x^{3} + 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{3} = - 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $4 x^{3} = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $4 x^{3} = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{3} = - \frac{1}{4}$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$

Этап 5.5

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $- \frac{1}{4}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{4}}$

Этап 5.5.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}}$

Этап 5.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Этап 5.5.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Этап 5.5.4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 5.5.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 5.5.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Этап 5.5.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 5.5.7.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 5.5.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 5.5.7.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 5.5.7.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.5.7.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.5.7.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.7.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.7.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 5.5.7.5.5

Найдем экспоненту.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 5.5.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.8.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Этап 5.5.8.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

Этап 5.5.8.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.8.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Этап 5.5.8.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Этап 5.5.8.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 5.5.9

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

Этап 5.5.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.9.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.9.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2})$

Этап 9.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$12 (1 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Этап 9.2.2

Умножим $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$12 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2^{2}}$

Этап 9.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{2^{2}}$

Этап 9.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 (3) \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Этап 9.4.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Этап 9.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \sqrt[3]{4}$

Этап 10

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{4}$ в виде $\sqrt[3]{2^{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{4}}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.4.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{16}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.4.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.4.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.4.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.4.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.6

Сократим общий множитель $2$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Этап 11.2.3

Чтобы записать $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Этап 11.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Этап 11.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Этап 11.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Этап 11.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - 4 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Этап 11.2.6.1.2

Вычтем $4 \sqrt[3]{2}$ из $\sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Этап 11.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Этап 11.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} + x + 2$ .

$(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2)$ — локальный минимум

Этап 13