Математический анализ Примеры

$\int x \cos (4 π x^{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 π x^{2}$ . Тогда $d u = 8 \cdot x π d x$ , следовательно $\frac{1}{8 π} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 π x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 π x^{2}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $4 π$ является константой относительно $x$ , производная $4 π x^{2}$ по $x$ равна $4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 π (2 x)$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$8 π x$

Этап 1.1.5

Изменим порядок $8 π$ и $x$ .

$x (8 π)$

Этап 1.1.6

Изменим порядок $x$ и $8$ .

$8 \cdot x π$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{8 π} d u$

Этап 2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{8 π}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{8 π} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{8 π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8 π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8 π} \int \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{8 π} (\sin (u) + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{8 π} \sin (u) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $4 π x^{2}$ .

$\frac{1}{8 π} \sin (4 π x^{2}) + C$