Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.2.4

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.2.6.1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.2.6.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}$

Этап 1.3.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $e$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - e}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{e^{1} - e}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим.

$\frac{0}{e - e}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $e$ из $e$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 1 + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Этап 3.5

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Этап 3.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $e^{x} - e$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}$

Этап 3.9

Поскольку $- e$ является константой относительно $x$ , производная $- e$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + 0}$

Этап 3.10

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

Этап 4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $2 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x}{x} + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

Этап 4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{e^{x}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Этап 11

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 12.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{1}}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разделим $2 \cdot 1 \cdot 1 + 1$ на $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

Этап 13.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

Этап 13.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 + 1}{e^{1}}$

Этап 13.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3}{e^{1}}$

Этап 13.3

Упростим.

$\frac{3}{e}$