Математический анализ Примеры

$y = \tanh^{2} ({(3 x + 2)}^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \tanh ({(3 x + 2)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tanh ({(3 x + 2)}^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tanh ({(3 x + 2)}^{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tanh ({(3 x + 2)}^{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tanh ({(3 x + 2)}^{2})$ .

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) \frac{d}{d x} [\tanh ({(3 x + 2)}^{2})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как ${(3 x + 2)}^{2}$ .

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\tanh (u_{2})] \frac{d}{d x} [{(3 x + 2)}^{2}])$

Этап 2.2

Производная $\tanh (u_{2})$ по $u_{2}$ равна ${sech}^{2} (u_{2})$ .

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [{(3 x + 2)}^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(3 x + 2)}^{2}$ .

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) \frac{d}{d x} [{(3 x + 2)}^{2}])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $3 x + 2$ .

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x + 2]))$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [3 x + 2]))$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $3 x + 2$ .

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (2 (3 x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]))$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]))$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])))$

Этап 4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])))$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])))$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) (3 + \frac{d}{d x} [2])))$

Этап 4.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) (3 + 0)))$

Этап 4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) \cdot 3))$

Этап 4.7.2

Перенесем $3$ влево от $3 x + 2$ .

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (3 \cdot (3 x + 2)))$

Этап 4.7.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (3 x + 2))$

Этап 4.7.4

Изменим порядок множителей в $12 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (3 x + 2))$ .

$12 {sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) (3 x + 2)$