Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} x \log (x)$

Этап 1

Перепишем $x \log (x)$ в виде $\frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \log (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\log (x)$ неограниченно убывает.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.3

Так как числитель — константа, а знаменатель стремится к $0$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к бесконечности.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.2

Производная $\log (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- x^{- 2}}$

Этап 2.3.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x \ln (10)} (- x^{2})$

Этап 2.5

Объединим $\frac{1}{x \ln (10)}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x \ln (10)}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

Этап 2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (10)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))}$

Этап 2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

Этап 2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{\ln (10)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\ln (10)}$

Этап 3.2

Вынесем член $\frac{1}{\ln (10)}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 0^{+}} x$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$

Этап 5

Умножим $- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 \frac{1}{\ln (10)}$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{\ln (10)}$ .

$0$