Математический анализ Примеры

$e^{x} (1 + e^{- x})$

Этап 1

Запишем $e^{x} (1 + e^{- x})$ в виде функции.

$f (x) = e^{x} (1 + e^{- x})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{x} (1 + e^{- x}) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} e^{- x} d x$

Этап 4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\int e^{x} + e^{x} e^{- x} d x$

Этап 4.3

Умножим $e^{x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{x} + e^{x - x} d x$

Этап 4.3.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$\int e^{x} + e^{0} d x$

Этап 4.4

Упростим $e^{0}$ .

$\int e^{x} + 1 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{x} d x + \int d x$

Этап 6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x} + C + x + C$

Этап 8

Упростим.

$e^{x} + x + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{x} (1 + e^{- x})$ .

$F (x) =$ $e^{x} + x + C$