Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Этап 1.2.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{2 \ln (lim_{x \to - 1} - x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Этап 1.2.3

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \ln (- lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Этап 1.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{2 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Этап 1.2.4.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 1.3.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 1.3.1.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 1.3.1.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 1.3.1.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{e^{3 \cdot - 1 + 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (- x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{- 1 (- 1)}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (- \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{x}$ и $- 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.10

Умножим $\frac{2}{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.12

Умножим $\frac{2}{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Этап 3.13

По правилу суммы производная $e^{3 x + 3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.14

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x + 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.14.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.14.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.14.2

По правилу суммы производная $3 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.14.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.14.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.14.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.14.6

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.14.7

Добавим $3$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.14.8

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x + 3}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.15

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + 0}$

Этап 3.16

Добавим $3 e^{3 x + 3}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$

Этап 5

Умножим $\frac{2}{x}$ на $\frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x (3 e^{3 x + 3})}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{2}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 1} \frac{1}{x (e^{3 x + 3})}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3}}$

Этап 10

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3}}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3}}$

Этап 12

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}}$

Этап 13

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3}}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим.

$\frac{2 \cdot 1}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 \cdot (- 1 (- 1))}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Этап 15.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3 (e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Этап 15.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{3 e^{- 3 + 3}}$

Этап 15.3.2

Добавим $- 3$ и $3$ .

$- \frac{2}{3 e^{0}}$

Этап 15.3.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Этап 15.4

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{2}{3}$