Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (x)}{\cos (x) - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1 - \sec (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \sec (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (x)}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - \sec (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sec (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $\sec (x) \tan (x)$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $\cos (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x) + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $- \sin (x)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x)}$

Этап 1.4

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sin (x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sec (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sec (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.2.5.2

Умножим $\tan (0)$ на $1$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.2.5.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Этап 2.1.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.4

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.6

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.7

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.10

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 2.3.11

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 3.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 3.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 3.7

Вынесем степень $3$ в выражении $\sec^{3} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 3.8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 3.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0^{2} \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

Этап 5.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

Этап 5.1.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

Этап 5.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0 + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

Этап 5.1.5

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{0 + 1^{3}}{\cos (0)}$

Этап 5.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0 + 1}{\cos (0)}$

Этап 5.1.7

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{\cos (0)}$

Этап 5.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$1$