Математический анализ Примеры

$\sqrt{\frac{x}{5}}$

Этап 1

Запишем $\sqrt{\frac{x}{5}}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{\frac{x}{5}} d x$

Этап 4

Пусть $u = \frac{x}{5}$ . Тогда $d u = \frac{1}{5} d x$ , следовательно $5 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \frac{x}{5}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{5}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$\frac{1}{5}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{5}$ .

$\int \sqrt{u} (1 \cdot 5) d u$

Этап 5.2

Умножим $5$ на $1$ .

$\int \sqrt{u} \cdot 5 d u$

Этап 5.3

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int 5 \sqrt{u} d u$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \sqrt{u} d u$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $5$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{5}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{x}{5})}^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$ .

$F (x) =$ $\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$