Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 5 - 3 x^{3}$ . Тогда $d u = - 9 x^{2} d x$ , следовательно $- \frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 5 - 3 x^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $5 - 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $5 - 3 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - 3 (3 x^{2})$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$0 - 9 x^{2}$

Этап 2.1.4

Вычтем $9 x^{2}$ из $0$ .

$- 9 x^{2}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 9} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{9}) d u$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 9} d u$

Этап 3.3

Перенесем $9$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u)$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u))$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6.1.2

Умножим $2$ на $9$ .

$- \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $3$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 6.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 6.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 6.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 6.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{6}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 2}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $5 - 3 x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(5 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$