Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} {(x - x^{2})}^{3} (1 - 2 x) d x$

Этап 1

Пусть $u = x - x^{2}$ . Тогда $d u = (1 - 2 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{1 - 2 x} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 - 2 x$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$- 2 x + 1$

Этап 1.1.5

Переставляем члены.

$1 - 2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - x^{2}$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - x^{2}$ .

$u_{upper} = 2 - 2^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 2 - 1 \cdot 4$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$u_{upper} = 2 - 4$

Этап 1.5.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{- 2} u^{3} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{- 2}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{4} u^{4}$ в $- 2$ и в $0$ .

$(\frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $16$ .

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2.3.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Этап 3.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0$

Этап 3.2.5

Умножим $0$ на $- 1$ .

$4 + 0 (\frac{1}{4})$

Этап 3.2.6

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$4 + 0$

Этап 3.2.7

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 4