Математический анализ Примеры

$5 \sum_{i = 1}^{14} i^{2} + 14 \cdot 13$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $14$ на $13$ .

$i^{2} + 182$

Этап 1.2

Переделаем суммирование.

$5 \sum_{i = 1}^{14} i^{2} + 182$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$5 \sum_{i = 1}^{14} i^{2} + 182 = 5 \sum_{i = 1}^{14} i^{2} + 5 \sum_{i = 1}^{14} 182$

Этап 3

Найдем значение $5 \sum_{i = 1}^{14} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(5) (\frac{14 (14 + 1) (2 \cdot 14 + 1)}{6})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Добавим $14$ и $1$ .

$5 \frac{14 \cdot 15 (2 \cdot 14 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $14$ на $15$ .

$5 \frac{210 (2 \cdot 14 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $14$ .

$5 \frac{210 (28 + 1)}{6}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $28$ и $1$ .

$5 \frac{210 \cdot 29}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $210$ на $29$ .

$5 (\frac{6090}{6})$

Этап 3.3.2.2

Разделим $6090$ на $6$ .

$5 \cdot 1015$

Этап 3.3.2.3

Умножим $5$ на $1015$ .

$5075$

Этап 4

Найдем значение $5 \sum_{i = 1}^{14} 182$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(5) ((182) (14))$

Этап 4.3

Умножим $(5) ((182) (14))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $182$ на $14$ .

$5 \cdot 2548$

Этап 4.3.2

Умножим $5$ на $2548$ .

$12740$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$5075 + 12740$

Этап 6

Добавим $5075$ и $12740$ .

$17815$