Математический анализ Примеры

$y = 2 \sin (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5)$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 3 x^{3} + 5 x^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{3} + 5 x^{2} - 5$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5 x^{2} - 5])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5 x^{2} - 5])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{3} + 5 x^{2} - 5$ .

$2 (\cos (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5 x^{2} - 5])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} + 5 x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$2 \cos (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \cos (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 \cos (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $3$ .

$2 \cos (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \cos (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5) (9 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \cos (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5) (9 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $5$ .

$2 \cos (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5) (9 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.8

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \cos (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5) (9 x^{2} + 10 x + 0)$

Этап 3.9

Добавим $9 x^{2} + 10 x$ и $0$ .

$2 \cos (3 x^{3} + 5 x^{2} - 5) (9 x^{2} + 10 x)$