Математический анализ Примеры

$2 y^{3} - x^{2} + 2 y = - 4 y^{2} - x^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} - x^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 4 y^{2} - x^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 y^{3} - x^{2} + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 y^{2} y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 4 y^{2} - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 8 y y' - (3 x^{2})$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 8 y y' - 3 x^{2}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$- 3 x^{2} - 8 y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' = - 3 x^{2} - 8 y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $8 y y'$ к обеим частям уравнения.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $6 y^{2} y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $8 y y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y)$ .

$2 y' (3 y^{2} + 1 + 4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Изменим порядок членов.

$2 y' (3 y^{2} + 4 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.4.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$2 y' (3 y^{2} + 4 (y) + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.4.1.2.2

Запишем $4$ как $1$ плюс $3$

$2 y' (3 y^{2} + (1 + 3) y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' (3 y^{2} + 1 y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.4.1.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$2 y' (3 y^{2} + y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.4.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 y' ((3 y^{2} + y) + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.4.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 y' (y (3 y + 1) + 1 (3 y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.4.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 y + 1$ .

$2 y' ((3 y + 1) (y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.5

Разделим каждый член $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ на $2 (3 y + 1) (y + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ на $2 (3 y + 1) (y + 1)$ .

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $3 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.5.2.3

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.5.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 5.5.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$