Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{3 - 2 x - x^{2}}{- 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 - 2 x - x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 - 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 - 2 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 1 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{3 - 2 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 - 2 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 - 2 - 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.2.6.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to 1} 4 + lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{- 4 + 3 lim_{x \to 1} x + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 \cdot 1 + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 + 1^{2}}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{- 4 + 3 + 1}$

Этап 1.1.3.6.2

Добавим $- 4$ и $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Этап 1.1.3.6.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{3 - 2 x - x^{2}}{- 4 + 3 x + x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $3 - 2 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3.6.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $- 4 + 3 x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.9.3

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 + 2 x}$

Этап 1.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.1

Добавим $0$ и $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{3 + 2 x}$

Этап 1.3.11.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{2 x + 3}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} - 2 x - 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Этап 2.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 3}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3}$

Этап 2.7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + 3}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + 3}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{- 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 - 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Этап 4.1.3

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$\frac{- 4}{2 \cdot 1 + 3}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{- 4}{2 + 3}$

Этап 4.2.2

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{- 4}{5}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{4}{5}$

Десятичная форма:

$- 0.8$