Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = 6 x$ . Тогда $d u_{1} = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = 6 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Этап 6

Объединим $\cos (u_{1})$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Этап 8.2

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{1}{18} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Этап 9

Интеграл $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

Этап 10

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (4 x) d x$

Этап 11

Пусть $u_{2} = 4 x$ . Тогда $d u_{2} = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 11.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 11.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Этап 12

Объединим $\sin (u_{2})$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 14.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 14.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 14.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 1}{1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 14.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 15

Интеграл $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - (- \cos (u_{2}) + C)$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим.

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) - - \cos (u_{2}) + C$

Этап 16.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + 1 \cos (u_{2}) + C$

Этап 16.2.2

Умножим $\cos (u_{2})$ на $1$ .

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + \cos (u_{2}) + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x$ .

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (u_{2}) + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$