Математический анализ Примеры

$y = \cot^{2} (1 - \sin (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cot (1 - \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cot (1 - \sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cot (1 - \sin (x))$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 - \sin (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Этап 2.2

Производная $\cot (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - \sin (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) (\csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $1 - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Этап 3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Этап 5.2

Выразим $\csc (1 - \sin (x))$ через синусы и косинусы.

$2 {(\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Этап 5.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Этап 5.4

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Этап 5.5

Объединим $2$ и $\frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Этап 5.6

Объединим $\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x))$

Этап 5.7

Выразим $\cot (1 - \sin (x))$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$

Этап 5.8

Объединим.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))}$

Этап 5.9

Умножим $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ на $\sin (1 - \sin (x))$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ на $\sin (1 - \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.1

Возведем $\sin (1 - \sin (x))$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin^{1} (1 - \sin (x))}$

Этап 5.9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{{\sin (1 - \sin (x))}^{2 + 1}}$

Этап 5.9.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{3} (1 - \sin (x))}$

Этап 5.10

Вынесем множитель $\sin (1 - \sin (x))$ из $\sin^{3} (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin^{2} (1 - \sin (x))}$

Этап 5.11

Разделим дроби.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$

Этап 5.12

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$ в виде произведения.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Этап 5.13

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Этап 5.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Этап 5.14.2

Переведем $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ в $\csc (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Этап 5.15

Вынесем множитель $\sin (1 - \sin (x))$ из $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Этап 5.16

Разделим дроби.

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Этап 5.17

Переведем $\frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$ в $\cot (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Этап 5.18

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Этап 5.19

Переведем $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ в $\csc (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2}{1} \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Этап 5.20

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Этап 5.21

Умножим $2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.21.1

Возведем $\csc (1 - \sin (x))$ в степень $1$ .

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Этап 5.21.2

Возведем $\csc (1 - \sin (x))$ в степень $1$ .

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc^{1} (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Этап 5.21.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\csc (1 - \sin (x))}^{1 + 1} \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Этап 5.21.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$