Математический анализ Примеры

$x y^{2} - y^{3} = x^{2} - 5$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 5)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x y^{2} - y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} y')$

Этап 2.3.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - 3 y^{2} y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y y'$ из $2 x y y' - 3 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y y'$ из $2 x y y'$ .

$y y' (2 x) - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y y'$ из $- 3 y^{2} y'$ .

$y y' (2 x) + y y' (- 3 y) = 2 x - y^{2}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y y'$ из $y y' (2 x) + y y' (- 3 y)$ .

$y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ на $y (2 x - 3 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ на $y (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $2 x - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y}{2 x - 3 y}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{y}{2 x - 3 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (2 x - 3 y)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{y}{2 x - 3 y}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{(2 x - 3 y) y}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(2 x - 3 y) y$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 x - y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Этап 5.3.3.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{2 x - (y \cdot y)}{y (2 x - 3 y)}$

Этап 5.3.3.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$