Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{x - 3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2$ и $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2] - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3

По правилу суммы производная ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + 1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 9.3

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 10

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 13.2

Умножим $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 14

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 15

Добавим $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 16

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 18

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 19

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 19.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - - 2}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Пусть $u_{2} = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$\frac{- \frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 4 u_{2} + 3}{2 u_{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.2.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{1} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.2.3.2

Упростим.

$\frac{- \frac{2 (x + 1) - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \frac{2 x + 2 \cdot 1 - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.2.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{- \frac{2 x + 2 - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.2.3.5

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$\frac{- \frac{x + 2 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.2.3.6

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.1

Перепишем $\frac{- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$ в виде произведения.

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 20.3.2

Умножим $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ на $\frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 20.3.3

Перенесем $2$ влево от ${(x - 3)}^{2}$ .

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.4

Изменим порядок множителей в $- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{2}}$