Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8.3

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 9

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 12.2

Объединим $2$ и $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 12.3

Объединим $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 16

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 17

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 18

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 19

Умножим $\frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ на $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 20

Объединим.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 21

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 22

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 22.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 23

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 23.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 23.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 23.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 23.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 24

Упростим ${(x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 25

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) (- 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 26

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) \cdot - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 26.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2} + 1$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 26.3

Перепишем $- 1 (x^{2} + 1)$ в виде $- (x^{2} + 1)$ .

$\frac{x^{2} - (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 27

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 27.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 27.2.2

Вычтем $1 \cdot 1$ из $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 27.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 27.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 27.4

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$