Математический анализ Примеры

${(1 + e^{x})}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 1 + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + e^{x}$ .

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (1 + e^{x}) e^{x}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot 1 + 2 e^{x}) e^{x}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

Этап 4.3.2

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{x} e^{x})$

Этап 4.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 e^{x} + 2 e^{x + x}$

Этап 4.3.2.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 e^{x} + 2 e^{2 x}$