Математический анализ Примеры

$\int [5 x + \frac{2}{3 x^{5}}] d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 5 x + \frac{2}{3 x^{5}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x d x + \int \frac{2}{3 x^{5}} d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x d x + \int \frac{2}{3 x^{5}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{2}{3 x^{5}} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{2}{3} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{2}{3} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 6.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{2}{3} \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Этап 6.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{2}{3} \int x^{- 5} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{2}{3} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{4} x^{- 4}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $x^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2}{3} (- \frac{x^{- 4}}{4}) + C$

Этап 8.2.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{x^{- 4}}{4}$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2 x^{- 4}}{3 \cdot 4} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2 x^{- 4}}{12} + C$

Этап 8.2.4

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2}{12 x^{4}} + C$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель $2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2 (1)}{12 x^{4}} + C$

Этап 8.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12 x^{4}$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2 (1)}{2 (6 x^{4})} + C$

Этап 8.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 (6 x^{4})} + C$

Этап 8.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{1}{6 x^{4}} + C$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{5}{2} x^{2} - \frac{1}{6 x^{4}} + C$