Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{3} (x)} d x$

Этап 4

Переведем $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ в $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) d x$

Этап 5

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sec (x)$ и $d v = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Этап 7

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Этап 8

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Этап 10.2

Изменим порядок $\tan^{2} (x)$ и $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Этап 11

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Этап 12

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Этап 12.3

Изменим порядок $\sec (x)$ и $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Этап 13

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Этап 14

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Этап 15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Этап 16

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Этап 17

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Этап 18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Этап 19

Добавим $2$ и $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Этап 20

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Этап 21

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Этап 22

Интеграл $\sec (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Этап 23

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Этап 23.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Этап 24

Найдя решение для $\int \sec^{3} (x) d x$ , получим $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Этап 25

Умножим $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ на $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Этап 26

Упростим.

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

Этап 27

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$