Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{3}{20}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{20} x^{- 4}$ по $x$ равна $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$\frac{3}{20} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.4

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{- 12}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{- 12}{20}$ и $x^{- 5}$ .

$\frac{- 12 x^{- 5}}{20} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.6

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 12}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.7

Сократим общий множитель $- 12$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$\frac{4 (- 3)}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20 x^{5}$ .

$\frac{4 (- 3)}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + 2 x$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- \frac{3}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{5 x^{5}}$ по $x$ равна $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Этап 2.5.2

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 2.5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 2.5.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Этап 2.5.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Этап 2.5.5.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Этап 2.5.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Этап 2.5.7

Умножим $x^{- 10}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Перенесем $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Этап 2.5.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Этап 2.5.7.3

Вычтем $10$ из $4$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 6})$

Этап 2.5.8

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + 5 (\frac{3}{5}) x^{- 6}$

Этап 2.5.9

Объединим $5$ и $\frac{3}{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5} x^{- 6}$

Этап 2.5.10

Умножим $5$ на $3$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5} x^{- 6}$

Этап 2.5.11

Объединим $\frac{15}{5}$ и $x^{- 6}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15 x^{- 6}}{5}$

Этап 2.5.12

Перенесем $x^{- 6}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5 x^{6}}$

Этап 2.5.13

Сократим общий множитель $15$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.13.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

Этап 2.5.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.13.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{6}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 (x^{6})}$

Этап 2.5.13.2.2

Сократим общий множитель.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

Этап 2.5.13.2.3

Перепишем это выражение.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{3}{x^{6}}$

Этап 2.6

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$