Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (- 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} - 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Этап 1.2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{\ln (- lim_{x \to - 2} 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Этап 1.2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Этап 1.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\ln (- 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Этап 1.2.4.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Этап 1.3.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Этап 1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Этап 1.3.1.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Этап 1.3.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = - 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $- 1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{- 1 - x}$ и $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{- 1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.11.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - (x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.11.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (x)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.11.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - 2} \frac{- - \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.11.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1 \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.11.6

Умножим $\frac{1}{1 + x}$ на $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Этап 3.12

По правилу суммы производная $e^{x + 2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.13

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x + 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.13.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.13.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.13.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.13.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.13.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.13.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.13.6

Умножим $e^{x + 2}$ на $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.14

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + 0}$

Этап 3.15

Добавим $e^{x + 2}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{e^{x + 2}}$

Этап 5

Умножим $\frac{1}{1 + x}$ на $\frac{1}{e^{x + 2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{(1 + x) e^{x + 2}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 1 + x \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{(lim_{x \to - 2} 1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Этап 11

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Этап 12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}}$

Этап 13

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{- 2 + 2}}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{- 1 e^{- 2 + 2}}$

Этап 15.1.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{1}{- 1 e^{0}}$

Этап 15.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Этап 15.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Этап 15.3

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 1$