Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.2.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.2.4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{3 \ln (4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3 \ln (4 - 3)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.2.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.2.5.2.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.2.5.2.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 1.3.1.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (4 - x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{4 - x}$ и $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.7

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.11

Объединим $\frac{3}{4 - x}$ и $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 \cdot - 1}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.12

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{- 3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.14

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.16

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + 0}$

Этап 3.17

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x} \cdot 1$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x}$

Этап 6

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 3} \frac{3}{4 - x}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 3 lim_{x \to 3} \frac{1}{4 - x}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}$

Этап 11

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$- 3 \frac{1}{4 - lim_{x \to 3} x}$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$- 3 \frac{1}{4 - 3}$

Этап 12.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вычтем $3$ из $4$ .

$- 3 (\frac{1}{1})$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- 3 (\frac{1}{1})$

Этап 12.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- 3 \cdot 1$

Этап 12.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$