Математический анализ Примеры

$y = \ln (x + y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + y))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\frac{1}{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x + y} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{x + y}$

Этап 3.4.2

Умножим $1 + y'$ на $\frac{1}{x + y}$ .

$\frac{1 + y'}{x + y}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{1 + y'}{x + y}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $x + y$ .

$y' (x + y) = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $\frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Этап 5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' x + y' y = 1 + y'$

Этап 5.2.2.1.2

Изменим порядок $1$ и $y'$ .

$y' x + y' y = y' + 1$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$y' x + y' y - y' = 1$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' x + y' y - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' x$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' y$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (x) + y' (y) + y' \cdot - 1 = 1$

Этап 5.3.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x) + y' (y)$ .

$y' (x + y) + y' \cdot - 1 = 1$

Этап 5.3.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x + y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x + y - 1) = 1$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y' (x + y - 1) = 1$ на $x + y - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y' (x + y - 1) = 1$ на $x + y - 1$ .

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x + y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y - 1}$