Математический анализ Примеры

$D_{x} (3^{3 x^{2}})$

Этап 1

Поскольку $D_{x}$ является константой относительно $x$ , производная $D_{x} \cdot 3^{3 x^{2}}$ по $x$ равна $D_{x} \frac{d}{d x} [3^{3 x^{2}}]$ .

$D_{x} \frac{d}{d x} [3^{3 x^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 3^{x}$ и $g (x) = 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2}$ .

$D_{x} (\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $3$ .

$D_{x} (3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2}$ .

$D_{x} (3^{3 x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Этап 3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$D_{x} \cdot 3^{3 x^{2}} \ln (3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Возведем $3$ в степень $1$ .

$D_{x} \cdot (3^{1} \cdot 3^{3 x^{2}}) \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$D_{x} \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$D_{x} \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3) (2 x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок множителей в $D_{x} \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3) (2 x)$ .

$2 \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} D_{x} x \ln (3)$

Этап 7.2

Изменим порядок множителей в $2 \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} D_{x} x \ln (3)$ .

$2 D_{x} x \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3)$