Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} e^{1 - 2 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 1.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - 2 x$ .

$u_{lower} = 1 - 2 \cdot 0$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - 2 x$ .

$u_{upper} = 1 - 2 \cdot 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Этап 1.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{- 1} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{- 1} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} e^{u} d u)$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{- 1}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- 1$ и в $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 1}) - e^{1})$

Этап 6.2

Упростим.

$- \frac{1}{2} (e^{- 1} - e)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{e} - e)$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{2} (- e)$

Этап 7.3

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} - \frac{1}{2} (- e)$

Этап 7.4

Умножим $- \frac{1}{2} (- e)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Этап 7.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} e$

Этап 7.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{e}{2}$

Этап 7.5

Перенесем $2$ влево от $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Десятичная форма:

$1.17520119 \dots$

Этап 9