Математический анализ Примеры

$\int 15 x^{4} {(3 x^{5} - 9)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = 3 x^{5} - 9$ . Тогда $d u = 15 x^{4} d x$ , следовательно $\frac{1}{15 x^{4}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 x^{5} - 9$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 x^{5} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} - 9]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $5$ на $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$15 x^{4} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $15 x^{4}$ и $0$ .

$15 x^{4}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{5} - 9$ .

$\frac{1}{3} {(3 x^{5} - 9)}^{3} + C$