Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{3} (\frac{4}{x^{2}} + 1) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{2}^{3} \frac{4}{x^{2}} + 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{2}^{3} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{2}^{3} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 \int_{2}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{2}^{3} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{2}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{2}^{3} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \int_{2}^{3} x^{- 2} d x + \int_{2}^{3} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (- x^{- 1}]_{2}^{3}) + x]_{2}^{3}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $3$ и в $2$ .

$4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) + x]_{2}^{3}$

Этап 7.2

Найдем значение $x$ в $3$ и в $2$ .

$4 (- 3^{- 1} + 2^{- 1}) + 3 - 2$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{3} + 2^{- 1}) + 3 - 2$

Этап 7.3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}) + 3 - 2$

Этап 7.3.3

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) + 3 - 2$

Этап 7.3.4

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

Этап 7.3.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

Этап 7.3.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

Этап 7.3.5.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}) + 3 - 2$

Этап 7.3.5.4

Умножим $2$ на $3$ .

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}) + 3 - 2$

Этап 7.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{- 2 + 3}{6} + 3 - 2$

Этап 7.3.7

Добавим $- 2$ и $3$ .

$4 (\frac{1}{6}) + 3 - 2$

Этап 7.3.8

Объединим $4$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} + 3 - 2$

Этап 7.3.9

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2)}{6} + 3 - 2$

Этап 7.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} + 3 - 2$

Этап 7.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} + 3 - 2$

Этап 7.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} + 3 - 2$

Этап 7.3.10

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{2}{3} + 1$

Этап 7.3.11

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 7.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + 3}{3}$

Этап 7.3.13

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{5}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{3}$

Десятичная форма:

$1.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{2}{3}$

Этап 9